CHƯƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp chứng minh bài toán theo con đường quy nạp:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi
bằng phương pháp quy nạp toán học ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k
(giả thiết quy nạp)
Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
Chý ý: Trong TH phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên
(p là số tự nhiên) thì:
Ở bước 1, kiểm tra mệnh đề đúng với n = p
Ở bước 2, giả sử mệnh đề đúng với n = k (
)
Ở bước 3, cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với
thì 1+3+5+…+(2n-1) = n2 (1)
Giải
B1: Kiểm tra khi n = 1: mệnh đề (1) trở thành 1 = 12 = 1 (đúng)
B2: Giả sử mệnh đề (1) dúng khi n = k
, tức là:
Sk = 1+3+5+…+(2k-1) = k2 (giả thiết quy nạp)
B3: Cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
Sk+1 = 1+3+5+…+(2k – 1) + [2(k + 1) -1] = (k + 1)2
Thật vậy: Sk+1 = Sk + [2(k + 1) -1] = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
Vậy mệnh đề (1) đúng với mọi
.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với
thì 2+5+8+…+3n-1 =
(2)
Giải
B1: Kiểm tra khi n = 1: mệnh đề (2) trở thành 2 = 2 (đúng)
B2: Giả sử mệnh đề (2) dúng khi n = k
, tức là:
Sk = 2+5+8+…+3k-1 =
(giả thiết quy nạp)
B3: Cần chứng minh mệnh đề (2) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:
Sk+1 = 2+5+8+…+3k-1 + [3(k+1)-1] =

Thật vậy: Sk+1 = Sk + [3(k + 1) -1] =
+ [3(k + 1) -1] =

Vậy mệnh đề (1) đúng với mọi
.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với
thì n3 – n chia hết cho 3.
Giải
Đặt An = n3 – n
B1: Kiểm tra với n = 1, A1 = 0
(đúng)
B2: Giả sử mệnh đề An dúng khi n = k
, tức là: Ak = (k3 – k)
(giả thiết quy nạp)
B3: Cần chứng minh mệnh đề An đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh mệnh đề:
Ak+1 = [(k+1)3 – (k+1)]

Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3 – (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 –k -1
= (k3 – k) + 3(k2 + k) = Ak + 3(k2 + k).
Theo già thiết quy nạp: Ak
, 3(k2 + k)
. Do đó Ak+1

Vậy An = n3 – n
với mọi
.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với
thì n3 +3n2 + 5n chia hết cho 3.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với
thì n7 – n chia hết cho 7.
Giải
Đặt An = n7 – n
B1: Kiểm tra với n = 1, A1 = 0
(đúng)
B2: Giả sử mệnh đề An dúng khi n = k
, tức là: Ak = (k7 – k)
(giả thiết quy nạp)
B3: Cần chứng minh mệnh đề An đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh mệnh đề:
Ak+1 = [(k+1)7 – (k+1)]

Thật vậy:
Ak+1 = (k+1)7 – (k+1) =

= (k7 – k) + 7(k6 + 3k5 + 5k4 + 5k3 + 3k2 + k).
Theo già thiết quy nạp: Ak
, 7(k6 + 3k5 + 5k4 + 5k3 + 3k2 + k).
. Do đó Ak+1

Vậy An =